Katalog

Formelsamlinger

Matematisk Formelsamling

Redaktion: Jørgen Dejgaard, Gert Schomacker
Illustrationer og layout: Flemming Mørk

Matematisk Formelsamling STX A, STX/hf B og STX/hf C er udgivet for at give et samlet overblik over de formler og det symbolsprog, der knytter sig til kernestoffet for de pågældende niveauer i gymnasiet og på hf. En formelsamling vil således være praktisk at have for eleverne - såvel i det daglige arbejde som til eksamen. Formelsamlingerne har dog ingen juridisk status, og kernestoffet til den skriftlige eksamen er ikke defineret af den.

1. oplag 2007.

Matematisk Formelsamling (fra før reformen)

Eksamensopgaver

Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Vejledende eksempler på eksamensopgaver (fra før reformen)

Matematiske Emner

Himmelsk Matematik

Torben Svendsen

Himmelsk Matematik handler om, hvordan man i antikken har brugt smuk klassisk geometri og andre former for matematik i astronomien.
Første omtales de tidligste bestemmelser af Jordens radius og afstanden fra Jorden til Månen og Solen. Dernæst beskrives vanskelighederne med at opstille et verdensbillede med jorden i centrum. Til sidst vises det, hvordan Ptolemæus var i stand til udføre trigonomeriske beregninger ved hjælp af kordefunktionen.

Hæftet kan anvendes til temaundervisning i matematik og i forbindelse med 3. års opgaver.

Jeg er den største

Bjørn Felsager

Jeg er den største tjener mange forskellige formål:

• Det er tænkt som et valgfrit emne efter det nye standardforsøg.
• Det er bygget op så store dele kan bruges på B-niveau, men enkelte afsnit til sidst (den hårde teori) er skrevet som afrunding på A-niveau. De kan udelades uden tab af væsentlig sammenhæng.
• Det er skrevet, så det lægger op til en eksperimenterende undervisning med brug af IT-værktøjer.
• Det er skrevet så eleven selv får en chance for at opdage centrale ikke-trivielle sammenhænge.
• Der er også medtaget en teoretisk afrunding, der gør det nemt også at inddrage teori til en evt. mundtlig eksamen.

Højt oppe langt nede

Christian Thune Jacobsen

Højt oppe langt nede er grundstenen i et undervisningsforløb. Dette undervisningsforløb er udviklet og afprøvet under projektet Naturvidenskab i Verdensklasse, der er et samarbejde mellem: Københavns Kommune, Frederiksberg Kommune, Københavns Amt, Frederiksborg Amt, Roskilde Amt og Hovedstadens Udviklingsråd.

Formålet med projekt Matematik og naturfag i verdensklasse er:

Hvor gammel bliver jeg?

Nils Fruensgaard

Hvor gammel bliver jeg er det fjerde hæfte i serien "Matematiske emner".Hvor gammel bliver jeg beskæftiger sig, som titlen også afslører, med beregninger af levealder med fokus på den såkaldte Gompertz-Makeham levealdermodel. Formål er at benytte regnearket Excel på et centralt begreb inden for forsikringsmatematik.

Arbejdet med hæftet kræver at man har Excel til rådighed. Hæftet er baseret på Excel97 og man skal være opmærksom på de forskellige versioner kan opfører sig forskelligt.

Nødvendige forudsætninger: Excel samt en PC

Lysende Matematik

Torben Svendsen

Nicolas Copernicus, Tycho Brahe, Galileo Galilei og Johannes Kepler er nogle af mændene bag en videnskablig revolution, hvor det bliver klart, at det er Solen og ikke Jorden, der er i centrum for planeternes bevægelse.

Lysende matematik handler om matematikkens rolle i denne revolution.

Hæftet består, af to kapitler. Det første kapitel tager udgangspunktet i Galileos arbejde, hvori han påviser, at Solen er centrum for planeternes bevægelse. Det andet kapitel handler om, hvordan Kepler var istand til at bestemme Mars-banens form ved hjælp af Brahes observationer. Banerne er ellipseformede, derfor indeholder hæftet et appendiks med den nødvendige teori for ellipser.

Lysende matematik er skrevet til et gymnasialt niveau. Noget af materialet kan anvendes allerede i 1.g, mens andet må vente til et senere klassetrin. Hæftet kan anvendes til temaundervisning i matematik og i forbindelse med større skriftlig opgaver. Det er velegnet til tværfagligt samarbejde. Et eksempel kan være et forløb om renæssancen med nogle af fagene: dansk, historie eller billedkunst.

Lige og ulige

Jørn Schmidt

Dette hæfte er beregnet til emneforløb i gymnasiets matematikundervisning på B- og A-niveau. Hæftets centrale emne er funktioner og deres grafer.

Det konkrete matematiske indhold falder i tre dele, hvor de to første naturligt hører hjemme på B-niveau, mens det sidste i sværhedsgrad nogle steder er oplagt A-niveau.

Hæftet lægger op til, at eleverne med CAS-værktøjer, grafregner og graftegningsværktøjer selv skal undersøge funktioner og opdage flere sammenhænge. Nogle opgaver vil kun ganske få elever kunne løse uden disse redskaber.

I dette hæfte bruges Derive som eksempel på et CAS-værktøj, TI84-PLUS som eksempel på grafregner og Geometer er benyttet som tegneredskab. Hæftet kan sagtens benyttes med andre redskaber.

Yderligere materiale til hæftet kan hentes her

Kan det gøres bedre?

Børge Jørgensen

Dette undervisningsmateriale er udviklet i forbindelse med projektet "Matematik og naturfag i verdensklasse", som Københavns Kommune, Frederiksberg Kommune, Københavns Amt, Roskilde Amt og Hovedstadens Udviklingsråd står bag. "Lineær programmering med Derive" er, som titlen antyder, et undervisningsforløb, der i høj grad udnytter mulighederne i et CAS-program. I fremstilling introduceres begrebet Lineær programmering (LP) samt den mest anvendte metode til løsning af LP-problemer, Simplex-metoden. Desuden behandles begreberne skyggepriser og følsomhedsanalyse.

Spil Matematik

Preben Blæsild og Lars Bo Kristensen

Hæftet skal ses som forslag til ét valgfrit emneforløb i sandsynlighedsregning.
I hæftet betragter vi blandt andet Klasselotteriet og følgende spil som Dansk Tipstjeneste udbyder, JOKER, LOTTO, Tips 12, Tips 13 og Den Lange, og vi introducerer de begreber fra sandsynlighedsregningen, der gør det muligt præcist at besvare relevante spørgsmål vedrørende disse spil såsom Hvad er chancen for at vinde? og Hvor stor er den forventede gevinst?

Hvad skal det koste?

Peter B. Yde

Herværende hefte handler om fundamental aktieanalyse. Det er kun en simpel introduktion med vægt på en matematisk tilgang.
Den fundamentale aktieanalyse søger at blotlægge aktiernes egentlige værdi. Den står i modsætning til den såkaldte tekniske analyse, der nærmest er en måde at håndtere det psykologiske spil omkring aktiernes pris på. Man kan sige, at jo større indflydelse den fundamentale analyse har på aktiernes prisdannelse, desto mindre gevinst giver den spekulationsprægede aktivitet på markedet. I den fundamentale aktieanalyse prøver man at vurdere selskabets fremtidige indtjeningsevne og benytter dette til at fremsætte en fair pris på aktien.

JOKER Statistik

Preben Blæsild og Lars Bo Kristensen

Dette hæfte omhandler statistik og skal ses som et forslag til, hvordan statistik og statistikkens metode kan introduceres i gymnasieskolens matematikundervisning som et emneforløb. I gymnasiet arbejder man oftest med beskrivende statistik - middelværdi, spredning, histogrammer, m.m. - og kommer sjældent omkring det centrale i statistikkens væsen, nemlig den statistiske analyse. Her er udgangspunktet et datasæt, der er indsamlet med det formål at få indblik i og drage konklusioner vedrørende et specielt spørgsmål.

Statistik i løb

Preben Blæsild og Lars Bo Kristensen

Dette hæfte beskæftiger sig med andvendelse af statistik og er et forslag til, hvordan man kan introducere statistisk analyse i gymnasieskolens matematikundervisning.

Hæftet tager udgangspunkt i målinger fra løbetest foretaget på Egå og Viby gymnasium, men vi opfordrer stærkt til, at man i forbindelsen med arbejdet med hæftet sideløbende behandler datafra egne løbetest. Således kan hæftet eksempelvis bruges som baggrund til en matematikrapport i statistik. Hæftet indeholder dog også traditionelle opgaver, som kan laves undervejs i forløbet.

Den retvinklede trekant

Erik Storm Rasmussen

Den retvinklede trekant repræsenterer 3 adskilte forslag med 3 forskellige arbejdsformer til arbejdet med geometri i matematik-undervisningen på gymnasialt C-niveau/første år på på B-niveau.

Det vil være for voldsomt at gennemføre alle 3 projekter i en klasse, men man kan udføre et af projekterne, projekt II og III eller dele af projekt I evt. sammen men II og/eller III.

Katten om den varme grød

Hæftet omtaler de almindeligste egenskaber ved komplekse tal som en udvidelse af de reelle tal, såsom de fire regnearter, rødder og potenser samt løsning af ligninger.

Den munder ud i en sammenhæng mellem trigonometriske funktioner og eksponentialfunktioner og ens overraskende formel for konstanterne e, π og i efterfulgt af den komplekse 2. grads ligning.

Sidste afsnit viser, hvordan komplekse tal anvendes ved beregning af elektroniske kredsløb.

Titlen 'Katten om den varme grød' hentyder til eksponentialfunktionen i afsnit 12, som netop bevæger sig rundt om origo.

Du skal have et stykke ternet papir ved siden af og eksperimentere, mens du læser.

Dilemma Regning

Et spil er et dilemma, hvor to parter skal vælge mellem forskellige strategier, der alle indebærer mulighed for gevinst eller tab afhængig af modpartens valg

Hvis parternes mål ikke er diametralt modsatte, er der konflikt. Et sådant spil kaldes et Nulsum spil: Det, den ene vinder, taber den anden.

Hæftet omhandler topersoneners Nulsum spil. Disse og andre typer spil er behandlet i bogen.

Andre Bøger

Vækst

Thomas Vils Pedersen

I anledning af gymnasiereformen har undervisningsministeriet nedsat nogle arbejdsgrupper til udarbejdelse af forslag til undervisningsmaterialer for matematik i grundforløbet. Hæftet "Vækst" er et af resultaterne af dette arbejde.

"Vækst" er ikke ment som en lærebog, og bl.a. er opsummeringerne sidst i hvert underafsnit blot ment som genopfriskninger af eller introduktioner til stoffet i en egentlig lærebog. Det er ikke tanken, at klassen nødvendigvis skal igennem hele materialet. Læreren kan i stedet i samarbejde med klassen udvælge de eksempler og øvelser, de ønsker at arbejde med. Hæftet afsluttes med eksempler på temaer, der kan undersøges ved hjælp af vækstmodellerne.
Det er en af intentionerne med gymnasiereformen, at matematik skal kunne indgå i tværfaglige samarbejder med andre fag. Temaet om idræt lægger således op til tværfagligt samarbejde med idræt og rummer megen selvstændig elevaktivitet med indsamling af data. Temaet om kropsvægt og andre biologiske størrelser hos pattedyr samt temaet om nedbrydning af rusmidler lægger tilsvarende op til et tværfagligt samarbejde med biologi. Herudover er der oplagte samarbejdsmuligheder med f.eks. det naturvidenskabelige grundforløb omkring modellering af simple eksperimenter i de naturvidenskabelige fag.
Vækstmodeller er også velegnede til introduktion af de matematiske it-værktøjer, som klassen har til rådighed i form af lommeregnere og matematikprogrammer. Da disse varierer fra klasse til klasse er vejledningen til disse i stedet samlet i en separat "tastevejledning", der kan udskiftes alt efter hvilke værktøjer, man har til rådighed.

Tal og tangenter

Gert Uttenthal Jensen

Overvejelser om forskellige stemninger har egentlig aldrig interesseret mig meget. Jeg har kendt til de grundlæggende matematiske uoverensstemmelser i vores tonesystem, men altid betragtet det som et rent teoretisk projekt. Den dag det første gang lykkedes mig at konstruere en tonegenerator, der både kunne afspille en tempereret treklang og en ren treklang, gik det op for mig, at jeg havde taget helt fejl. Der var masser ting, man kunne høre. De ting, jeg syntes lød dårligt, kunne jeg anskueliggøre grafisk og kunne dermed SE, at de lød dårligt. Samtidig fik jeg øje på nye ting i de tegninger, der resulterede i mange udregninger, mange grafer og efterhånden også flere forskellige tonegeneratorer, der gjorde det muligt at lytte til lige præcis detm jeg havde brug for at lytte til.

Dette hæfte er tænkt som en guide til læserens egen opdagelsesrejse ind i dette spændende og uudforskede land.

God rejse!

Eksperimentel matematik

Denne bog omhandler eksperimentel matematik.

Bogen indeholder en række almene overvejelser og en lang række eksempler på undervisningsforløb, der kan anvendes i de gymnasiale ungdomsuddannelser.

Forløbene dækker en bred vifte af emner på alle niveauer.

Numeriske algorimter

Matematiklærerforeningen udarbejdede i samarbejde med Gymnasieafdelingen en serie emnehæfter om matematisk-datalogiske emner.
I serien findes:

• Jens Ole Bach: Symbolske algoritmer.
  Bogen handler om algoritmer, der som inddata har "aritmetiske" udtryk. Dette bruges f.eks. i graftegningsprogrammer med funktionsudtryk som inddata.
   
• Bjørn Felsager og Jonny Schultz: Figentræer og mandelbrød.
  Bogen omhandler iterationer.
   
• Elevvejledning til "Figentræer og mandelbrød".
   
• Mogens Brun Heefelt: Numeriske algoritmer.
  Bogen beskriver nogle numeriske algoritmer, som belyser væsentlige samspil mellem matematiske og datalogiske synsvinkler.
   
• Peder Voetmann Christiansen: Fraktaler og kaos.
  Bogen behandler grafisk fremstilling af "fraktaler og kaos" ved brug af iterationer.
   
• Diskette til emnehæfte om datalogisk matematik (3,5") excl. vejledning.

Om det uendelige

Lars Mejlbo og redigeret af Vibeke Svaneborg

Bogen giver en elementær indføring i uendelighedsbegrebet med omtale af bl.a. paradokser ved det uendelige, Hilberts Hotel samt Cantors kontinuumshypotese. Bogen indgår i serien Matematikkens Aspekter, og den er direkte anvendelig som elevhæfte til belysning af såvel det historiske aspekt som matematikkens indre struktur samt til forståelse af mægtigheden af de reelle tal.
Bogen indeholder relevante udsnit af bogen ”Tal og Geometri” af Fl. Clausen m.fl.

Talbegrebets historie

Helmuth Gericke

(Oversættelse og redigering Kirsti Andersen og Kate Larsen).
Bogens første kapitel handler om regning i den ægyptiske og i den mesopotamiske kultur. Derefter følges udviklingen af talbegrebet fra det antikke Grækenland til begyndelsen af 1900-tallet. Denne historie starter og ender med de naturlige tal. Undervejs vises hvilken indflydelse ligningslæren, geometrien og analysen har haft for dannelsen af begreberne reelle og komplekse tal.
Bogen henvender sig først og fremmest til lærere, der vil vide noget om oprindelsen til nogle af de velkendte matematiske begreber.

Fra kvadratur til integration

Jens Lund
Bogen er udgivet i Matematiklærerforeningens serie "Matematikkens Aspekter" til belysning af det historiske aspekt.

Hensigten med bogen er at belyse dele af arealberegningens historie fra Ægypten over den græske og islamiske kulturkreds til og med Leibniz og Newton. Stoffet præsenteres ved gennemgang af kilder og præsentation af de metoder, som i tidens løb har været anvendt til arealberegning.

Bogen omfatter et righoldigt udvalg af opgaver, hvoraf adskillige kan anvendes som oplæg til projekter. Endvidere kan bogen, der indeholder en omfattende litteraturliste, danne grundlag for større skriftlige opgaver i matematik.

MOdeller i Derive

Niels Hjersing, Per Hammelshøj Jensen og Børge Jørgensen

Dette undervisningsmateriale dækker emnet differentialligninger på højt niveau i gymnasiets matematikundervisning. Det er tænkt som en ny indgang til emnet nu hvor standardforsøgsbekendtgørelsen med projekter og fremkomsten af CAS-programmer har gjort det muligt at gå nye veje. Materialet er udarbejdet til programmet Derive, men kan (tror vi) bruges med andre programmer uden større ændringer. Materialet egner sig ikke som introduktionsmateriale til Derive, så programmet forudsættes bekendt for lærere og elever.

Undervisningsmaterialet er udarbejdet med økonomisk støtte fra forsøget "Matematik og naturvidenskab i verdensklasse", som Københavns og Frederiksberg kommuner og Frederiksborg, Københavns og Roskilde amter står bag.

Studentereksamensopgaver 1806-1991

Palle Bak Petersen & Søren Vagner

Siden 1806 har der i Danmark været stillet skriftlige studentereksamensopgaver i matematik fra centralt hold. Det er lykkedes rektor Palle Bak Petersen, Frederiksværk Gymnasium og undervisningskonsulent Søren Vagner, Undervisningsministeriet at grave alle disse opgaver frem fra diverse arkiver. Netop fordi alle opgaver er tilvejebragt, giver dette historiske materiale et helt unikt billede af matematik-undervisningen i Danmark gennem 200 år. Forskellige tiders skoleordninger afspejles i opgaverne og man kan således følge udviklingen fra Examen Artium op til vore dages studentereksamen.

Bogen indeholder dels udvalgte opgaver dels en forbindende tekst, der sammenholder opgaverne med de skiftende gymnasieordninger i de sidste 200 år. Bogen indeholder også eksempler på stillede opgaver og deres løsning.

Set i lyset af den kommende gymnasiereform vil bogen kunne være med til at belyse hvilken matematik, der er undervist i i gymnasiet gennem tiderne. Ligeledes får man også et indtryk af, hvordan undervisningen i matematik har udviklet sig. Den vil således kunne være et glimrende afsæt for debatten om indholdet i matematikundervisningen i det ny gymnasium.

Gymnasiets udvikling i de sidste 200 år er dokumenteret i et omfattende tabelmateriale og samtlige stillede studentereksamensopgaver er samlet på en medfølgende Cd-rom.

Bogen er udgivet med økonomisk støtte fra Knud Højgaards fond og Matematiklærerforeningen.